Operasi Biner



I. Operasi Biner

Definisi : f: A x A  A

1. Domain (f) = A x A ,
- f menentukan sebuah elemen f(a,b) dari A ke pasangan (a,b) terurut dari elemen-elemen A.
- Operasi biner harus didefinisikan untuk masing-masing pasangan terurut dari elemen A.
2. Operasi biner mrp fungsi , hanya satu elemen A yang disebutkan pada masing-masing pasangan terurut (a,b)
Operasi biner ditunjukkan dengan symbol *. Contoh bila a dan b elemen di dalam A maka a*b € A  A closed dengan operasi *.

Tabel
Bila A={a1 , a2 , … , an } mrp himpunan terbatas, operasi biner dari A dapat disajikan dalam table dengan i, j menunjukkan elemen ai * aj .
* a1 a2 . . . aj . . . an
a1
a2
.
ai
.
an

ai * aj

Sifat Operasi Biner
- Komutatif  a * b = b * a
- Operasi biner yang digambarkan dengan table dikatakan komutatif jika dan hanya jika isi table simetris thd diagonal utama.
- Asosiatif  a*(b*c) = (a*b)*c




II. SemiGroup
Adalah himpunan tidak kosong S dengan sebuah operasi biner asosiatif yang ditetapkan dalam S. Dinotasikan sebagai (S,*) atau bila jelas operasi binernya cukup ditulis S.
- (S,*) dikatakan komutatif bila * adalah operasi komutatif

Teorema 1:
Jika a1 , a2 , … an (n>=3) adalah elemen yang berbeda pada semigroup, maka semua perkalian dari elemen a1 , a2 , …, an yang dapat dibentuk dgn memasukkan tanda kurung yang berbeda (letaknya) adalah sama.
Contoh : ((a1*a2)*a3)*a4 a1*(a2*(a3*a4)) (a1*(a2*a3))*a4
adalah sama.

Teorema 2 :
Semigroup (S,*) unik bila mempunyai elemen identity e. Semigroup yang memiliki identity disebut monoid.
Contoh : P(S) dengan S suatu himpunan dengan operasi gabungan adalah semigroup yang komutatif mempunyai identity φ karena
Φ * A = φ U A = A U φ = A * φ
Untuk setiap elemen A. Di sini berarti P(S) monoid.

Isomorfisme dan Homomorfisme
f : S  T disebut isomorfisme dari semigroup (S,*) ke (T,*’) bila menunjukkan hubungan korespondensi satu-satu dari S ke T.
Contoh : T adalah himpunan semua bilangan bulat genap Tunjukkan bahwa (Z,+) dan (T,+) adalah isomorfis.
Solusi :
1. f: Z  T dengan f(a) = 2a
2. tunjukkan f berkoresponden satu-satu
f(a1 )= f(a2 ) lalu 2a1 = 2a2 shg a1 = a2
3. tunjukkan f onto, misalkan b sembarang bilangan bulat genap dan a= b/2 dan f(a) =f(b/2) = 2(b/2) =b f  onto
4. f(a+b) = 2(a+b)
= 2a+2b = f(a) + f(b)
Sehingga (Z,+) dan (T,+) adalah isomorfis.


Teorema 3
Misal (S,*) dan (T,*) adalah monoid dengan identity e dan e’ maka f:ST adalah isomorfis dan f(e) = e’.

Teorema 4
Misal (S,*) dan (T,*) adalah monoid dengan identity e dan e’, maka f:ST adalah homomorfis dari (S,*) onto (T,*’) dan f(e) = e’.

Teorema 5
Misal f adalah homomorfis dari sebuah semigroup (S,*) ke (T,*’). Jika S’ adalah subsemigroup dari (S,*) maka
F(S’)= {t € T|t= f(s) untuk beberapa s € S’}

Teorema 6
Jika f homomorfis dari semigroup komutatif (S,*) onto (T,*’), maka (T,*’) juga komutatif.

Perkalian dan Pembagian Semigroup

Teorema 1
Jika (S,*) dan (T,*’) adalah semigroup maka (SxT, *’’) adalah semigroup dengan *’’ ditunjukkan (s1 , t1) *’’ (s2 , t2) = (s1 * s2, t1 *’ t2)
Teorema 2
Misal R adalah hubungan kongruen semigroup (S, *). Maka
(a) O adalah fungsi dari S/R x S/R ke S/R dan biasa penulisan O ([a],[b]) diganti dgn [a]O[b]. Maka [a]O[b] = [a * b]
(b) (S/R, O) adalah semigroup
Teorema 3
Misal R adalah hubungan kongruen semigroup (S,*) dan (S/R,O) adalah semigroup persamaan korespondensi. Maka fR : S  S/R yang didefinisikan sbg fR (a) = [a] adalah homomorfisme onto disebut homomorfisme alami (natural).
Teorema 4 (Teorema Homomorfisme Fundamental)
Misal f:S T adalah homomorfisme semigroup (S,*) onto (T,*’). Misal R adalah relasi pada S a R b jika dan hanya jika f(a) = f(b) utnuk a dab b dalam S. Maka
(a) R adalah relasi kongruen
(b) (T,*’) dan semigroup persaamaan (S/R,O) adalah isomorfis.

III. Group
Aplikasi group dapat ditemukan pada matematika, fisika, kimia, bahkan ilmu noneksak seperti sosiologi.
Group adalah monoid edngan identity e yang mempunyai sifat tambahan yaitu utnuk setiap elemen a є G di sana terdapat sebuah elemen a’ є G sehingga a * a’ = a’ * a = e.
a’ disebut inverse dari a.
Penulisan a * b dalam group disederhanakan menjadi ab bila jelas hanya ada satu G.

Teorema 1
G sebuah group. Setiap elemen a dalam G hanya mempunyai satu invers dalam G.

Teorema 2
Misal G sebuah group dan a, b, c adalah elemen G maka
(a) ab = ac menunjukkan b = c (sifat hapus kiri)
(b) ba = ca menunjukkan b = c (sifat hapus kanan)

Teorema 3
G sebuah group, a dan b elemen G. Maka
(a) (a-1 )-1 = a
(b) (ab)-1 = b-1 a-1

Teorema 4
G sebuah group, a dan b elemen G. Maka
(a) persamaan av=b mempunyai sebuah solusi unik dalam G.
(b) persamaan va=b mempunyai sebuah solusi unik dalam G.

Teorema 5
Misal (G,*) dan (G’,*’) adalah dua group, misal f:GG’ adalah homomorfis dari G ke G’ maka
(a) jika e identity dari G dan e’ identity dari G’ maka f(e)=e’
(b) jika a є G, maka f(a-1 ) = (f(a))-1
(c) jika H adalah subgroup dari G maka f(H) = {f(h)|h є H} adalah subgroup dari G’

Perkalian dan Pembagian Group

Teorema 1
Jika G dan G adalah group, maka G = G x G adalah sebuah group dengan operasi yang ditentukan sbg
(a1, b1)(a2, b2) =(a1a2, b1b2)

Teorema 2
Misal R adalah hubungan kongruen dalam group (G,*). Maka semigroup (G/R, О) adalah sebuah group di mana operasi O dalam G/R ditentukan oleh [a] O [ b] = [a * b]

Teorema 3
Misal R adalah hubungan konruen dalam group G dan H = [e], kelas ekivalen berisi identity. Maka H adalah subgroup normal dari G dan setiap a є G, [a] = aH = Ha

Teorema 4
Misal N adalah subgroup normal dari group G dan R memiliki hubungan dengan G sbb.
a R b jika dan hanya jika a-1 b є N
Maka
(a) R adalah sebuah hubungan kongruen pada G
(b) N adalah kelas ekivalen [e] relative thd R dengan e identity pada G.